ベクトル空間の基底に対して、その双対空間の基底を構成する。
目次【本記事の内容】
双対空間の基底
体\(k \)上のベクトル空間 \(V\) の双対空間を \(V^*\) とする。
つまり、 \(V\) の線形写像（一次形式）\(\{\phi : V \to k \}\)全体の集合を \(V^*\)とする。
\(\dim V = n\) とすると、\(\dim V^* = n\) である。
また、\(V\)の基底を\(\{e_1, \dots, e_n \} \)として、
\[
V = < e_i >
\]
と表す。\(（ i= 1,\dots, n ) \)
ここで、 \(V^*\) の元 \(e^i\)を次で定義する。
\[
e^i(e_j) = \delta_{ij} \quad \text{（Kroneckerのデルタ）}
\]
実は、この定義により、\(\{ e^1, \dots, e^n \}\) は \(V^*\) の基底となる。
それを示す。
- 一次独立であること
\(c_1, \dots, c_n \in k \) に対して、\(f := c_1 e^1 + \dots + c_n e^n = 0\) だと仮定する。
\(f\)を各 \(e_j\) に作用させると：
\[
f(e_j) = c_1 e^1(e_j) + \dots + c_n e^n(e_j) = c_j = 0
\]
よって、すべての \(c_j = 0\)。したがって、\(\{e^i\}\) は一次独立である。
- 双対空間を生成すること
\(\forall f \in V^*\)について
\[
f(e_i) = f_i
\]
のとき、
\[
\sum_{i=1}^n f_i e^i
\]
を考える。アインシュタインの規約により、これを
\[
f_i e^i
\]
とかく。
\(v \in V\) を
\[
v = \sum_{i=1}^n v^i e_i
\]
と表す。
これも、アインシュタインの規約により、
\[
v = v^i e_i
\]
このとき、
\[
f_i e^i(v)=f_i e^i(v^j e_j)
= f_i v^j e^i(e_j)
= f_i v^i
\]
一方、
\[
f(v)=f(v^i e_i)
= v^i f(e_i)
= f_i v^i
\]
以上より、\(f = f_i e^i\) なので、\(\{ e^1, \dots, e^n \}\) は \(V^*\) の基底となる。
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