ガロア理論その1 〜解の公式が作れるということ〜

長年の夢だった「ガロア理論」についてまとめていく。

ガロア理論は大学の学部数学における一里塚であり、理論の美しさもさることながら、その背景にある歴史、数学者の逸話なども楽しめる。私はこの理論が好きすぎてパリに旅行に行った際に、ガロア所縁の地を旅したほど。

またガロア理論や群という考えは現代数学の基本にもなっている。

いつの日か自分で理解してブログにまとめたいと思っていた。

続きを読む →

コンパクトと最大値・最小値の原理(解析学 第I章 実数と連続13)


これまで,点列コンパクト,開集合,閉集合という空間の距離を数学的に表現してきました.
今回はこれら準備してきた概念を用いて,コンパクト空間上の連続関数が最大値・最小値を持つことを証明します.

関数のグラフを描いたり,イメージに頼ったりせず,定義と論理のみで証明できるようになることが数学を学ぶモチベーションであり,数学の素晴らしさなのです.

続きを読む →

点列コンパクト・開集合・閉集合の整理(解析学 第I章 実数と連続12)


ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理は,「任意の有界な実数列は収束する部分列を含む」ことを保証しています.これは実数の連続性公理でもあります.
この概念をn次元に一般化したときにも成り立つのか考えます.このような性質を点列コンパクトといいます.
これは開集合や閉集合,コンパクト空間にも繋がる重要な基礎概念です.
これらの概念はたまに教科書を見返したりしていますが,一度整理したいと思います.

続きを読む →