ベクトル空間の線形写像の空間の基底や、双線型写像の空間の基底を求める。
なお,「岩波講座 基礎数学 横沼健雄著 テンソル空間と外積代数」を参考としております.
目次【本記事の内容】
1. 線型写像空間 \(\mathrm{Hom}(V, W)\)の基底
ベクトル空間 \(V = \langle e_1, \dots, e_n \rangle\)、\(W = \langle f_1, \dots, f_m \rangle\) を考える。
\(V\) から \(W\) への線型写像全体の空間を \(\mathrm{Hom}(V, W)\) と書く。
この空間の基底を考えてみる。
任意の \( v = \sum_{i=1}^n v^i e_i = v^i e_i \in V \) に対して、
\[
F(v) = F(v^i e_i) = v^i F(e_i)
\]
となるから（アインシュタインの規約で記載）、
線型写像 \(F : V \to W\) は、\(V\) の基底 \(\{e_i\}\) に対する像 \(F(e_i)\) を決めることで定まることがわかる。
さらに、各 \(F(e_i)\) は \(W\) の基底 \(\{f_j\}\) の線形結合として表されるため、次のような2段階の選択によって写像が構成される：
１．V の各基底ベクトル \(e_i\) を、どの \(f_j\) に送るか（行き先の方向の選択）
２．その行き先に、どれだけの係数をかけるか（スカラーの選択）
このような「基底の行き先」と「係数」の選択によって写像が決まるため、\(\mathrm{Hom}(V, W)\) の次元は \(nm \) と考えられる。
つまり自由度が \(nm \) あるということ。
これを証明してみる。
証明は、構成的に行う。
まず、基底の候補をつくる。
次のような写像 \(F_{ij} \in \mathrm{Hom}(V, W)\) を定義する：
\[
F_{ij}(e_k) :=
\begin{cases}
f_j & (k = i) \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\quad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq m)
\]
これは、\(e_i\)を\(f_j\)に移し、それ以外の組み合わせは\(0\)にするもの。
次に、このようにして作った写像\(F_{ij}\)が一次独立であることを確認する。
一次結合\( \sum_{i,j} \alpha_{ij} F_{ij} = 0\) と仮定する。
このとき、任意の \(e_k\) に対して、写像\(F_{ij}\)の定義より、
\[
\left(\sum_{i,j} \alpha_{ij} F_{ij}\right)(e_k)
= \sum_j \alpha_{kj} f_j = 0
\]
基底 \(\{f_j\}\) が一次独立なので、\(\alpha_{kj} = 0 ,\forall j \)
\(k\) は任意なので、すべての \(\alpha_{ij} = 0\) が従う。
よって \(\{F_{ij}\}\) は一次独立である。
次に、\(\{F_{ij}\}\)たちが写像全体を生成することの確認する。
任意の \(F \in \mathrm{Hom}(V, W)\) に対して、\(F(e_i) = \sum_{j=1}^m a_{ij} f_j\) と表せる。
このとき、
\[
F = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij} F_{ij}
\]
と書けるため、\(\{F_{ij}\}\) は \(\mathrm{Hom}(V, W)\) を生成する。
よって、\(\{F_{ij}\}\) は \(\mathrm{Hom}(V, W)\) の基底であることが示された。
次元は
\[
\dim \mathrm{Hom}(V, W) = n \cdot m \cdot \ell
\]
2.双線型形式空間 \(\mathcal{L}(V, W; k)\)の基底
\(V = \langle e_1, \dots, e_n \rangle\), \(W = \langle f_1, \dots, f_m \rangle\)、\(k\) をスカラー体とする。
\(V \times W\) から \(k\) への双線型写像全体の空間を \(\mathcal{L}(V, W; k)\) とする。
まず、同様に基底の候補をつくる。
任意の \( v = \sum_{i=1}^n v^i e_i = v^i e_i \in V \)、
\( w = \sum_{j=1}^m w^j f_j = w^j f_j \in W \) に対して、
双線型写像 \( \Phi \in \mathcal{L}(V, W; k) \) に対して、
\[
\Phi(v, w) = v^i w^j \Phi(e_i, f_j)
\]
そこで、基底のペア\((e_i, f_j)\)がどこに行くかを決めればよく、行き先の\(k\)の基底として1を考えて、
次のような写像 \(\Phi_{ij} \in \mathcal{L}(V, W; k)\) を定義する：
\[
\Phi_{ij}(e_a, f_b) :=
\begin{cases}
1 & (a,b) = (i,j) \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\quad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq m)
\]
つまり、\(\Phi_{ij}\)は、\((e_i, f_j)\)だけ移して、それ以外は消えてしまう写像とする。
1. 一次独立性の確認
\(\sum_{i,j} \alpha_{ij} \Phi_{ij} = 0\) と仮定する。
このとき、任意の \((e_a, f_b)\) に対して
\[
\left( \sum_{i,j} \alpha_{ij} \Phi_{ij} \right)(e_a, f_b)
= \sum_{i,j} \alpha_{ij} \Phi_{ij}(e_a, f_b)
= \alpha_{ij} = 0
\]
よってすべての \(\alpha_{ij} = 0\) が従うため、\(\{\Phi_{ij}\}\) は一次独立。
2. \(\{\Phi_{ij}\}\)が全体を生成することの確認
任意の \(\Phi \in \mathcal{L}(V, W; k)\) に対して、\(\Phi(e_i, f_j) = v_{ij} \in k\) とおく。
このとき、\(\sum_{i,j} v_{ij} \Phi_{ij} \in \mathcal{L}(V, W; k)\) と定義する。
任意の \((x, y) \in V \times W\) に対して、
（ただし \( x = x^i e_i,\ y = y^j f_j \)）
\[
\sum_{i,j} v_{ij} \Phi_{ij}(x, y)
= \sum_{i,j} v_{ij} \Phi_{ij}(x^i e_i,\ y^j f_j)
= \sum_{i,j} v_{ij} x^i y^j
= x^i y^j v_{ij}
\]
一方で、
\[
\Phi(x, y)
= \Phi(x^i e_i, y^j f_j)
= x^i y^j \Phi(e_i, f_j)
= x^i y^j v_{ij}
\]
よって、
\[
\Phi = \sum_{i,j} v_{ij} \Phi_{ij}
\]
したがって、\(\mathcal{L}(V, W; k) = \langle \Phi_{ij} \rangle\)
よって \(\{\Phi_{ij}\}\) は \(\mathcal{L}(V, W; k)\) の基底である。
次元は
\[
\dim \mathcal{L}(V, W; k) = n \cdot m
\]
3. 一般の双線型写像空間 \(\mathcal{L}(V, W; U)\)の基底
\(V = \langle e_1, \dots, e_n \rangle\)、\(W = \langle f_1, \dots, f_m \rangle\)、\(U = \langle g_1, \dots, g_\ell \rangle\) を考える。
\(V \times W\) から \(U\) への双線型写像全体の空間：
\[
\mathcal{L}(V, W; U) := \left\{ \Phi : V \times W \to U \,\middle|\, \Phi \text{ は双線型写像} \right\}
\]
次のように写像 \(\Phi_{ij}^c \in \mathcal{L}(V, W; U)\) を定義する：
\[
\Phi_{ij}^c(e_a, f_b) :=
\begin{cases}
g_c & (a,b) = (i,j) \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\quad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq m,\ 1 \leq c \leq \ell)
\]
1. 一次独立性の確認
\(\sum_{i,j,c} \alpha_{ij}^c \Phi_{ij}^c = 0\) と仮定する。
このとき、任意の \((e_a, f_b)\) に対して、
\[
\left( \sum_{i,j,c} \alpha_{ij}^c \Phi_{ij}^c \right)(e_a, f_b)
= \sum_c \alpha_{ab}^c g_c = 0
\]
\(U\) の基底 \(\{q_c\}\) が一次独立であることから、\(\alpha_{ab}^c = 0\) がすべての \(c\) について成り立つ。\(a,b\) も任意なので、すべての \(\alpha_{ij}^c = 0\) となる。
よって、\(\{\Phi_{ij}^c\}\) は一次独立である。
2. 全体を生成することの確認
任意の \(\Phi \in \mathcal{L}(V, W; U)\) に対して、各 \((i,j)\) における像を
\[
\Phi(e_i, f_j) = \sum_{c=1}^\ell u_{ij}^c g_c
\]
と表せる。したがって、
\[
\Phi = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{c=1}^\ell u_{ij}^c \Phi_{ij}^c
\]
よって \(\{\Phi_{ij}^c\}\) は \(\mathcal{L}(V, W; U)\) の基底である。
次元は
\[
\dim \mathcal{L}(V, W; U) = n \cdot m \cdot \ell
\]
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