統計検定準1級に合格するには,短い時間内に大量の処理をする必要があります.
それには過去問を素早く解く練習が適しています.
問題を解く際に覚えておくべきサンプル平均の期待値,分散,不偏推定量についてまとめました.
これらは,標準化や中心極限定理でも利用する重要な性質です.

サンプル平均$\bar{X}$の期待値,分散

サンプル平均$\bar{X}$とは,$n$のデータの平均のこと. $$\bar{X}=\displaystyle \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}X_i$$

（１）$E[\bar{X}]$ $$E[\bar{X}]=E\left [\displaystyle \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}X_i \right ]=\displaystyle \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} E\left [ X_i \right ]$$ $$=\displaystyle \frac{1}{n}n\mu　（∵ E[X]=\mu）$$ $$=\mu$$ $$∴　E[\bar{X}]=\mu.$$

（２）$V[\bar{X}]$ $$V[\bar{X}]=V\left [\displaystyle \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}X_i \right ]=\displaystyle \frac{1}{n^2} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} V\left [ X_i \right ]$$ $$（∵V[aX+b]=a^2V[X]）$$ $$=\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}　（∵V[X]=\sigma^2）$$ $$∴　V[\bar{X}]=\frac{\sigma^2}{n}.$$

これにより,サンプル平均$\bar{X}$の期待値は不偏性を持つことが分かります.

つまり,サンプルで平均を取ったものの期待値は,母集団の真の期待値を推定する良い値ということです.
式により,サンプル数$n$に依らないことが分かります.

また,分散については,サンプル数$n$が大きくなればなるほど,$V[\bar{X}]=\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}$が$0$に近づきます.

つまり,ばらつきが無くなるということです.(大数の法則)

$E[\bar{X}^2]$の計算

次の計算方法もおさえておきます.

分散の計算をうまく使います.

$$V[\bar{X}]=E[\bar{X}^2]-E[\bar{X}]^2=E[\bar{X}^2]-\mu^2$$ $$V[\bar{X}]=\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}より$$ $$∴　E[\bar{X}^2]=\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}+\mu^2.$$

$\sigma^2$の不偏推定量

分散$\sigma^2$の不偏推定量を考えます.

つまり,サンプルから計算できる推定量で,期待値が真の分散になるものを考えます.
推定量$\hat{\theta}$が次を満たせば不偏推定量です.

$$E\left [\hat{\theta}\right ]=\sigma^2$$

簡単に思いつくのが,真の期待値$\mu$の代わりにサンプル平均を使う次の推定量です.

$$\displaystyle \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$$

しかし,これは不偏推定量にはなりません.

分母が割られすぎて,小さくなり過ぎています.

実は分母を$n-1$とするとうまくいきます.

証明：
$E[S^2]=\sigma^2$を示す.

$$(n-1)S^2=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$$ $$=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left \{ (X_i-\mu)-(\bar{X}-\mu) \right \}^2$$ $$=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2-2\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(\bar{X}-\mu)^2$$ $$=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2-2(\bar{X}-\mu)\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)+n(\bar{X}-\mu)^2・・・①$$
ここで,第２項目は次のように計算できる. $$-2(\bar{X}-\mu)\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)=-2(\bar{X}-\mu)\left ( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}X_i- \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\mu\right )$$ $$=-2(\bar{X}-\mu)\left ( n\bar{X}-n\mu\right )$$ $$=-2n(\bar{X}-\mu)^2.$$ ①に代入して, $$(n-1)S^2=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2-2n(\bar{X}-\mu)^2+n(\bar{X}-\mu)^2$$ $$=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2-n(\bar{X}-\mu)^2.$$ よって両辺の期待値をとると, $$(n-1)E[S^2]=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}E\left [ (X_i-\mu)^2\right ]-n E\left [(\bar{X}-\mu)^2\right ]$$ $$=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}V[X]-n V[\bar{X}]$$ $$=n\sigma^2-n・\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}$$ $$=(n-1)\sigma^2.$$ $$∴　E[S^2]=\sigma^2.$$

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分散の不偏推定量として,もう一つあります.
サンプル平均ではなく,真の期待値$\mu$を使うものです.
この場合,分母は$n$です.

証明：
$E[T^2]=\sigma^2$を示す.

$$E[T^2]=\displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}E\left [(X_i-\mu)^2 \right ]$$ $$=\displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sigma^2=\displaystyle \frac{1}{n}n\sigma^2=\sigma^2.$$

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