先日の休みに東大駒場祭に遊びに行ってきました.そこで「位相空間ゲーム」という数学の位相空間を使ったカードゲームを購入したので紹介したいと思います.

東大駒場祭に行ってきた

11/22,23,24の三連休（22日は勤労感謝の日の振替）は生憎の雨でしたが,東大駒場祭は人で溢れかえっておりました.初めての東大駒場キャンパス.目的は「位相空間ゲーム」なるカードゲームを買うこと.Twitterで学生が作って販売していることを知りました.

せっかくなので出店でいろいろ買うことに.こちらは東大理Ⅲのお店.リサンドというホットサンド.

理Ⅲと言えば医学部で,東大の中でも別次元の頭の良い人がいるイメージ.リサンドの中身はサバが入った不思議なサンドでしたが美味しくいただきました.
そしてこちらは東大の数学科.保有する図書を物色したいところです.

他にも１０分間で研究内容を発表するイベント等を見つつ,お目当ての位相空間ゲームを販売している７号館にたどり着きました.

位相空間とは距離が測れる空間

位相空間とは何か？

数学を大学で学んでいない方には何のことかさっぱりだと思います.
物理にも波の位相などがありますが全く異なるものです.

簡単に言うと,位相とは,「距離を測るものさし」のことです.

身近な簡単な例では,ユークリッド空間での絶対値を使った距離があります.
数直線の上で,5と3の距離は差の絶対値を考えて２です.
当たり前のように考えていますが,何も距離は絶対値だけでなく数学にはいろいろ距離が考えられます.

そして,距離が定義できると,極限の操作ができたりして嬉しいわけです.

つまり,\(\lim\)を取ったり,積分が出来たりします.

数学では目に見えない理想上の世界を考えるわけですが,その中には数学で定義される集合に距離を入れるわけですが,通常の絶対値が使えない世界もあるわけです.例えば,関数を集めた集合など.

そこで,絶対値による距離で現れる性質だけを取り出し,その性質を持つことを距離と定義します.いわゆる抽象化や一般化というやつです.

具体的には,絶対値の距離では,開集合や閉集合といった概念が定義でき,それら集合の性質を距離,つまり位相の定義とします.

開集合が定まる集合を位相空間と呼びます.

絶対値による距離が定義できる空間も距離空間と呼ばれる位相空間の一種です.

位相空間は数学のどの分野でも活躍しますが,例えば,トポロジーと呼ばれる柔らかい幾何学では,図形の長さや角度等ではない本質を見出す分野ですが,位相が当たり前に出てきます.ポアンカレ予想もこの分野での話です.

また,複素数のような数がぎっしり詰まった世界では極限が使いやすく方程式の解空間を図形的に捉えて解を求めるなどできますが,

整数のようなボツボツとした世界では同じようなテクニックが使えません.そこで整数の世界での位相（ザリスキー位相）を定義して,整数の世界での解空間の図形を考える分野,代数幾何学があります.

集合育成ゲームと思いきや意外と攻撃性がある

位相空間には開集合や閉集合をはじめ,連続写像やコンパクト等,位相にまつわる概念が出てきます.それら概念の性質を持った役割のカードで遊ぶのが「位相空間ゲーム」です.
すぐ近くに数学仲間がいないので（泣）,とりあえず一人で遊んでみました.

これが位相空間ゲームです。

大まかなルール

• 2人以上でプレイ
• 自場の「集合」カードにポイントが付与される
• 最終的にポイントが高いプレイヤーの勝利

ポイントが付く「集合」カードには４種類あります.
1点からなる集合、開集合、閉集合、コンパクト集合です.
それぞれ0点,1点,2点,3点が与えられます.

1点からなる集合からスタートし,開近傍を取って開集合にしたり,閉包を取って閉集合にしたりしてポイントを高めていきます.
これは位相空間の概念に添って効果が適用されていくゲームということです.

このように手元の集合を成長させて高ポイントを狙うゲームのようなのですが,カードの中には「写像」のカードがあり,相手の開集合,閉集合,コンパクト集合を奪うことが出来ます.
数学的に言うと,連続写像とは開集合（または閉集合）が逆写像によって再び開集合（または閉集合）となること、コンパクト集合は連続写像によってまたコンパクト集合になるということです.

手元の集合カードがなくなるとゲームの敗けとなります.

なので相手の1点からなる集合をわざと開集合などに変換して写像カードで奪うと,その時点で相手の手元集合カードが０枚になると勝利出来ます.

はじめは手元の集合カードを成長させるゲームかと思いきや,意外と相手から集合カードを奪い合うという攻撃的なゲームでした.
ある意味,一点からなる集合は奪われることがないので重要です(０点ですが).

位相の概念を知らなくても,ゲーム自体はできますが,効果の背景となる数学を知っておくとニヤリとできるゲームですね.

位相空間の勉強として

位相空間ゲームは遊びながら数学に触れられ,また位相空間の概念を覚えるのには良いです.

ただ,位相空間を本当に理解するには本を読み自分で手を動かしながら,一つ一つ積み重ねていくのが一番です.

この位相空間ゲーム,位相空間の概念が良く現れていますし,話のネタには最高ですね.

最後までお読みいただきありがとうございました.

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