昔,学校のクラスで同じ誕生日の人はいたでしょうか.
いたらその人と運命を感じるものです.

その運命,どのくらいの確率なのか計算してみると,
直感に反する意外な事実が分かります.

誕生日の話のネタとしてどうぞ.

同じ誕生日の人がいる確率は？

まずはクイズです.

（１）に関して,同じ誕生日の二人がいるのは,滅多になさそう・・・
（２）に関して,1年は365日なので,半分の180人くらいいれば,50%くらいの確率で同じ誕生日の二人がいそう・・・・

答えは下にあります.

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答え：
（１）８９％
（２）２３人

！！！

１クラス４０人いれば,８９％の確率で同じ誕生日の人がいることになります.
（3人以上いるかもしれないし,２組以上いる可能性もあり.）

また,２３人いれば,５０％の確率で,同じ誕生日の人がいることになるのです.

これは直感に反して驚くべき数字だと思います.

数学的に確率を計算してみる

先ほどのクイズを数学的に計算してみます.

確率論です.

（１）１クラス40人の教室では,同じ誕生日の人がいる確率はどのくらいでしょう？

まず,全員が誕生日バラバラの確率を考えます.

初めの人は,365日のうちどの日でもよいので,確率は\(\displaystyle \frac{365}{365}\)
次の人は,前の人の誕生日以外の364日の候補があり,確率は\(\displaystyle \frac{364}{365}\)
さらに次の人は,前までの人の誕生日以外の363日の候補があり,確率は\(\displaystyle \frac{363}{365}\)
・・・
40人目の人は,前までの人の誕生日以外の65-(40-1)日の候補があり,確率は\(\displaystyle \frac{326}{365}\)

よって,全員が誕生日バラバラの確率はこれらの確率を掛ければよく,

$$\displaystyle \frac{365}{365} × \displaystyle \frac{364}{365} × \displaystyle \frac{363}{365} ×\cdots × \displaystyle \frac{326}{365}=0.108768\cdots$$

よって,少なくとも2人が同じ誕生日である確率は,上の確率の余事象を考えればよく,

$$1-\displaystyle \frac{365}{365} × \displaystyle \frac{364}{365} × \displaystyle \frac{363}{365} ×\cdots × \displaystyle \frac{326}{365}=0.891231\cdots$$

となります.よって,８９％以上となります.

（２）何人いれば,同じ誕生日の人がいる確率が50%を超えるでしょう？

（１）を一般化して,n人のクラスで少なくとも2人が同じ誕生日である確率\(p(n)\)は,
$$p(n)=1-\displaystyle \frac{365×364×363×\cdots ×\{365-(n-1)\}}{365^n}$$

\(n=20\)人のとき
$$p(20)=0.411438\cdots$$
\(n=21\)人のとき
$$p(21)=0.443688\cdots$$
\(n=22\)人のとき
$$p(22)=0.475695\cdots$$
\(n=23\)人のとき
$$p(23)=0.507297\cdots$$

よって,２３人いれば,５０％を超えます.

５０人もいれば,９７％以上の確率で同じ誕生日の人がいます.

直感に反する事実

計算上は,1クラスあれば８９％の確率で同じ誕生日の人がいるとのことですが,実際,経験上いましたでしょうか.
上の数字は直感とだいぶ異なると思います.

同じ誕生日の人なんていなかった,という方が大多数だと思います.

これは,”自分の誕生日”と同じかどうかで考えてしまっているからです.

自分の誕生日と同じ人がいるかどうかは,別の問題になります.

あなたがあるn人いる教室に入って,その中であなたと同じ誕生日の人が少なくとも一人いる確率\(p^{\prime}(n)\)は,

$$p^{\prime}(n)=1-\left ( \displaystyle \frac{364}{365} \right )^n$$

これは,２５３人（自分いれて２５４人）いて,ようやく自分と同じ誕生日の人がいる確率が５０％を超える少ない確率です.

どうりで直感に反していると感じてしまうわけです.

まとめ

誕生日が同じと考えると,どうしても“自分と”というバイアスがかかってしまうため,
直感に反して確率が高く感じてしまいます.
実際の計算では,”誰か”と”誰か”が同じ誕生日かどうかなので,組み合わせは無数に発生し,結果確率が高くなります.

直感に反しているという意味で,「誕生日パラドックス」と呼ばれます.
論理的には何も矛盾していません.

一クラス（４０人）で８９％,
２３人いれば５０％超え,
自分と同じ誕生日で５０％超えるには２５３人必要

２３人と２５３人は似ているので覚えやすそうです.

是非覚えて誕生日の話のネタとして使ってみてください.

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