この記事では、体の拡大を「方程式の根のシャッフル」という視点から捉え、その考えを体の同型写像の理論へとつなげていきます。
最終的には係数体の同型写像を最小分解体に延長することと、その具体例として\(\sqrt[3]{2}\)の場合を確認します。
ガロア理論その３ 〜準備：同型写像〜
投稿者: yuyu
2011年に数学科修士を修了.専攻は整数論.現在は数学に関わるような仕事を求めてIT系企業に勤めております.
数学の研究そのものよりも人類の叡智である数学の最先端を追いかけたく,日々数学書を読んでいます.また,数学の美しさ楽しさを自分の言葉でより多くの人に知ってもらいたいという思いも持っています.
ガロア理論その2 〜準備：拡大体の理論〜
いつかはガロア理論を理解したいという想いから、この記事を書いております。前回の記事で、代数方程式を解くには、数の世界を拡大すること、つまり有理数体に\(\sqrt{} \)を入れた数の世界を作る必要がありました。これを体の拡大といいます。この記事では、体の拡大の理論について私なりにまとめます。
双対空間の基底変換
線型写像と双線型写像の空間の基底
ベクトル空間の基底変換
双対空間の基底
双対空間とは線形代数で出てくる概念ですが、いまいちありがたみが分かりませんでした。
テンソルや微分形式を勉強していると、なんとなく双対ベクトルとは、ベクトルとペアとなりスカラーを取り出すセンサーの役割のように思えてきました。実際、積分で出てくるdxは方向ベクトルに対するセンサーであることがだんだん見えてきて、接ベクトルに対する双対空間の元であると定義されます。（独学を通した個人的な感想なので、その点ご容赦ください。。）
ここでは、将来テンソルや微分形式を扱うための準備として、ベクトル空間の基底に対する双対空間の基底を構成します。
ガロア理論その1 〜解の公式が作れるということ〜
長年の夢だった「ガロア理論」についてまとめていきます。
ガロア理論は大学の学部数学における一里塚であり、理論の美しさもさることながら、その背景にある歴史、数学者の逸話なども楽しめます。私はこの理論が好きすぎてパリに旅行に行った際に、ガロア所縁の地を旅したほどです。
またガロア理論や群という考えは現代数学の基本にもなっていると感じています。
いつの日か自分で理解してブログにまとめたいと思っていました。
100円はどこに消えた！？
ポアソン分布と指数分布の使いどころ
コンパクトと最大値・最小値の原理（解析学 第I章 実数と連続13）
これまで,点列コンパクト,開集合,閉集合という空間の距離を数学的に表現してきました.
今回はこれら準備してきた概念を用いて,コンパクト空間上の連続関数が最大値・最小値を持つことを証明します.
関数のグラフを描いたり,イメージに頼ったりせず,定義と論理のみで証明できるようになることが数学を学ぶモチベーションであり,数学の素晴らしさなのです.