我々は今,実数の連続性を公理とし,数列の極限について定義,様々な極限操作を論理的に厳密に扱えるようになりました.今回は「区間縮小法」という重要な定理を証明します.

なお,「東京大学出版　杉浦光夫著　解析入門１」を参考としております.

区間縮小法

だんだん小さくなっていく有界閉区間が無限に続くとき,

行きつく先はどうなっているのか,

ということを述べた定理です.

図で表してみます.

なお,ここで自然数を\(0\)からはじめております.\(1\)からでもいいのですが,教科書にあわせています.

証明：
(1)　\(n\)番目の有界閉区間を\(I_n = [a_n,b_n]\)で表す.単調減少の条件より,$$a_0 \leq a_1 \leq \cdots \leq a_n \leq b_n \leq b_{n-1} \leq \cdots \leq b_0.$$よって,数列\(a_n\)は上に有界な単調増加数列であり,数列\(b_n\)は下に有界な単調減少数列である.ここで,

有界な単調増加・減少数列は上限・下限に収束する

という事実を使うと,$$\lim_{n \to \infty}a_n = \alpha,$$$$\lim_{n \to \infty}b_n = \beta$$また,\(a_n \leq b_n\)より,\(\alpha \leq \beta\)$$∴　a_n \leq \alpha \leq \beta \leq b_n$$これは,任意の\(n\)に対して,\([\alpha ,\beta] \subset I_n\)ということ.$$∴　\bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_n \neq \emptyset.$$

(2)　今(1)が成り立っているので,共通部分から元\(c \in \displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_n\)をとると,$$\forall n,　a_n \leq c \leq b_n$$$$∴　0 \leq |c-\alpha| \leq b_n-a_n$$（\(a_n\)と\(b_n\)の差より,\(c\)と\(\alpha\)の差の方が小さい）今,\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(b_n-a_n)=0\)なので\(c=\alpha\).
\(c\)は\(\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_n\)の任意の元だったので,$$\bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_n = \{\alpha\}.$$特に,$$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n – \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = \beta – \alpha = 0$$より,\(\alpha = \beta\)である.

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定理のポイント

区間縮小法の証明には,本質的に次の事実を使いました.

有界な単調増加・減少数列は上限・下限に収束する

これは,実数の連続性公理から導かれる定理でした.無限に小さな話など,想像がつきにくくなる現象の議論には,このような数学的な定義と演繹的な議論が必要です.

有界な単調増加数列の収束先は？アルキメデスの原理の証明（解析学 第I章 実数と連続4）

この区間縮小法は解析学でよく使われる定理で,特に方程式の根を数値的に求める場合の基本原理となります.方程式\(f(x)=0\)の根\(\alpha\)が,\(a_n \leq \alpha \leq b_n,　\alpha \in I_n = [a_n,b_n]\)で評価できているとき,上下の数列でうまく単調減少列\(I_n \supset I_{n+1} \supset \cdots \)が作れれば,どんどん根\(\alpha\)の近似解が得られます.

まとめ（実数の連続性公理）

Dedekindの切断に関する実数の連続性公理から議論をスタートして,収束の定義によって今まで分かったことを次でまとめておきます.

議論の出発点〜実数の連続性とは？〜（解析学 第I章 実数と連続１）

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