我々は今,実数の連続性を公理とし,数列の極限について定義,様々な極限操作を論理的に厳密に扱えるようになりました.
そして,数列の収束を判定するCauchyの収束判定条件を証明しました.
実は,アルキメデスの原理を加えれば,これははじめに仮定した「実数の連続性公理」と同値なのです.
今回はこれを証明します.

なお,「東京大学出版　杉浦光夫著　解析入門１」を参考としております.

実数の連続性公理

まず,我々が解析学の議論の出発点とした「実数の連続性公理」をおさらいします.

二つの同値な公理を採用しました.

Dedekind切断による実数の定義とWeierstrass流の有界集合には上限が実数内に存在するというものでした.

ここではWeierstrassの連続性公理を使います.

このWeierstrassの公理はDedekindによる連続性の公理と同値です.

議論の出発点〜実数の連続性とは？〜（解析学 第I章 実数と連続１）

Cauchyの収束条件から連続性公理を導く

Cauchy列についておさらいします.

アルキメデスの原理は$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{1}{n}=0$を保証しています.

コーシーの収束条件（解析学 第I章 実数と連続7）

有界な単調増加数列の収束先は？アルキメデスの原理の証明（解析学 第I章 実数と連続4）

これらの定理は,実数の連続性公理から導かれる結果です.

逆に,「Cauchyの収束条件」と「アルキメデスの原理」から,「Weierstrassの公理」を導きます.

証明：
$A\subset \mathbb{R}$を空でない有界な集合とする.

$A$の上限$\sup{A}$が存在することを示す.

$A$の上界の集合を$B$とし,$C=B^c=\mathbb{R}＼B$とする.$A$は上に有界なので,$B\neq \emptyset$である.$C$は$A$の上界ではない実数の集合である.

任意の$b \in B,c \in C$に対して,$\exists a \in A　s.t.　c<a\leq b.$

これは,$A$に最大限があった場合,その最大限は$B$の元になるから成り立つ.

今,$b_0 \in B,c_0 \in C$を１つずつとり,以下のように帰納的に数列$\{ b_n \},\{ c_n \}$をつくる.
$$d_n = \displaystyle \frac{b_n+c_n}{2}$$ とし,$d_n \in B$ならば, $$b_{n+1}=d_n,c_{n+1}=c_n$$ $d_n \in C$ならば, $$b_{n+1}=b_n,c_{n+1}=d_n$$ このとき,$c_n\leq d_n \leq b_n$なので,$\{b_n\}$は単調減少数列,$\{c_n\}$は単調増加数列となる.

実は,数列$\{ b_n \},\{ c_n \}$はCauchy列である.

（∵）
自然数$n$より大きい$p,q$番目の項に対して, $$|b_p-b_q|\leq b_n-c_n\leq \displaystyle \frac{b_0-c_0}{2^n}\longrightarrow 0　(n \to \infty)・・・（☆）$$ 最後の収束はアルキメデスの原理より成り立つ.同様に, $$|c_p-c_q|\leq b_n-c_n\leq \displaystyle \frac{b_0-c_0}{2^n}\longrightarrow 0　(n \to \infty)$$ であるので,数列$\{ b_n \},\{ c_n \}$はCauchy列である.

さて,Cauchy列は収束するので, $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=b,\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n=c$$ である.($b,c$は適当な実数.)

ここで,上記の（☆）より, $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(b_n-c_n)=\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n-\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n=0$$ $$∴　b=c.$$

実は,$\sup{A}=b$である.

(∵)
上限であることを示すには,$b$より小さい元が$A$の元になること,つまり,$\forall x<b,\exists a \in A　s.t.　x<a$を示せばよい.

$\forall a \in A$に対して,$a\leq b_n$より,$a\leq b$となり,$b$は$A$の上界である.

$b$より小さい任意の元$x$に対して,$$\lim_{n \to \infty}c_n=c=b\)より$n$を十分大きくすれば,$x<c_n$となる.

$c_n$は$C$の元で,$A$の上界ではないので,$\exists a \in A　s,t.　c_n<a$とできる.

したがって, $$x<c_n<a\leq b.$$

これより,$\forall x<b$に対しては,$A$の上界ではなくなってしまうことが分かり,$\sup{A}=b$であることが示せた.

これはWeierstrassの実数の連続性公理のことである.

■

まとめ（実数の連続性公理）

Dedekindの切断に関する実数の連続性公理から議論をスタートして,収束の定義によって今まで分かったことを次でまとめておきます.

議論の出発点〜実数の連続性とは？〜（解析学 第I章 実数と連続１）

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