不思議な「トマエ関数」〜有理数で不連続,無理数で連続〜


トマエ関数という関数をご存知でしょうか.
有理数で不連続で無理数で連続となるような不思議な関数です.

病的な関数とも言われる関数の一種で,ちょっと想像のつかない動きをします.

数学徒の中では有名ですが,そうでない人でも不思議さが伝わるように紹介したいと思います.

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加藤文元「宇宙と宇宙をつなぐ数学」教養としての数学者の発想

IUT理論とはInter Universal Teichmüller理論=宇宙際(うちゅうさい)タイヒミュラー理論のことで,京都大学望月教授が2012年8月30日に発表し数学会に衝撃を与えている理論です.
加藤文元教授による著書「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃」では,IUT理論の雰囲気が分かりやすく紹介がされています.

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何で分数の割り算は逆数をかけるの?理由を説明できますか?


もし子供に「何で分数の割り算は逆数をかけるの?」と聞かれたら,何と答えますか?

小学校で分数の割り算の仕方は習いましたが,何でそうなのかと改めて考えると結構難しいものです.

今回は割り算に関して,その本質に迫り,上記質問の回答を考えたいと思います.

子供への数学教育としてどうぞ.

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6つの同値な「実数の連続性公理」まとめ(解析学 第I章 実数と連続9)


これまで実数の連続性を公理とし,数列の極限について定義,それから導かれる様々な命題,定理を証明してきました.
その結果分かった実数の連続性公理と同値な条件(Bolzano–Weierstrass,Cauhy列の収束+アルキメデスの原理etc)
をまとめたいと思います.
どれを公理としてもよく,自分にあったものを議論の出発点としてよいのです.

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コーシーの収束条件から実数の連続性を証明(解析学 第I章 実数と連続8)


我々は今,実数の連続性を公理とし,数列の極限について定義,様々な極限操作を論理的に厳密に扱えるようになりました.
そして,数列の収束を判定するCauchyの収束判定条件を証明しました.
実は,アルキメデスの原理を加えれば,これははじめに仮定した「実数の連続性公理」と同値なのです.
今回はこれを証明します.

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