これまで,点列コンパクト,開集合,閉集合という空間の距離を数学的に表現してきました.
今回はこれら準備してきた概念を用いて,コンパクト空間上の連続関数が最大値・最小値を持つことを証明します.
関数のグラフを描いたり,イメージに頼ったりせず,定義と論理のみで証明できるようになることが数学を学ぶモチベーションであり,数学の素晴らしさなのです.
コンパクトと最大値・最小値の原理（解析学 第I章 実数と連続13）
点列コンパクト・開集合・閉集合の整理（解析学 第I章 実数と連続12）
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理は,「任意の有界な実数列は収束する部分列を含む」ことを保証しています.これは実数の連続性公理でもあります.
この概念をn次元に一般化したときにも成り立つのか考えます.このような性質を点列コンパクトといいます.
これは開集合や閉集合,コンパクト空間にも繋がる重要な基礎概念です.
これらの概念はたまに教科書を見返したりしていますが,一度整理したいと思います.
数学におけるコンパクトとは何か
解析や幾何の専門書を読んでいると必ずと言っていいほど現る「コンパクト」という概念.定義だけ見ても何のことやらさっぱりでイメージも掴めない難しい概念です.コンパクトのイメージとその恩恵や考える動機を考えてみます.
数学デーin横浜に参加してきました
位相空間ゲーム
2変量正規分布の条件付き確率の期待値と分散（統計検定準1級対策3）
多変量正規分布を理解する
統計学 t検定の仕組み
母集団のパラメーターを推定する良い方法とは？一致性,不偏性を理解する
不思議な「トマエ関数」〜有理数で不連続,無理数で連続〜
トマエ関数という関数をご存知でしょうか.
有理数で不連続で無理数で連続となるような不思議な関数です．
病的な関数とも言われる関数の一種で,ちょっと想像のつかない動きをします.
数学徒の中では有名ですが,そうでない人でも不思議さが伝わるように紹介したいと思います.