互いに素な数は全ての数を表す〜整数論の基本定理の証明〜

前回の記事で,新幹線の座席は乗客が効率よく座れるようになっているという話をしました.それを論理的に支えているのが,互いに素な数は全てを表すという整数論の基本定理です.今回はこれを証明します.

新幹線の座席はなぜ２席と３席なのか？（自然科学研究会２生活の中の数学その３）

会社の同僚の方とたまに自然科学研究会なるものを開催しております.
自然科学のあるテーマに沿って自由にプレゼンするものです.
第二回では私は「生活の中の数学」というテーマでプレゼンしました.

今回は,新幹線の座席に使われている数学の話をします.
なぜ新幹線の席は２席シートと３席シートの組み合わせが多いのでしょうか？実は数学的に面白い理由があります.
これは私が教員採用試験を受験した際の模擬授業で取り上げたネタでもあります.
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会社の同僚の方とたまに自然科学研究会なるものを開催しております。
自然科学のあるテーマに沿って自由にプレゼンするものです。
第二回では私は「生活の中の数学」というテーマでプレゼンしました。

今回は,高校数学の一里塚でもある微分積分と速度・距離の関係について紹介します.

数列の収束を求めるのに様々なテクニックがあります.

その一つにはさみうちの原理というものがあります.

これは収束性を求めることが難しい数列を簡単な数列で下からと上から評価してあげて,目的の数列の極限値を求めるものです.高校数学ではあいまいに説明されていたこの原理を,ε-N論法から厳密かつ分かりやすく解説します.

我々は今,実数の連続性を公理とし,数列の極限について定義しました.ここから得られる結果として,有界な単調増加数列の収束先を論じます.またその結果を用いて,一見当たり前のように思えるアルキメデスの原理を厳密に証明します.

不等式の問題でよく出る「三角不等式」というものがあります.角を曲がるのではなくて最短距離を斜めに横断した方が断然早いという一見当たり前なものですが,様々なバリエーションがあり,奥が深いです.また数列の極限の評価等によく使われます.様々なバリーションはたまに忘れてしまうので,まとめておきます.

実数の厳密な定義ができたところで,次は高校数学でも学んだ数列の収束について定義したいと思います.高校数学ではだんだんとその値に近くことと定義しましたが,ε-N論法を用いて定義を行い,数列の収束問題の計算方法について定義から導かれる結論を解説します.

今回は,数学がネット社会の安全を支えていることを紹介します.

数学科に進学すると,周りからこの手の質問をされる可能性大です（笑）

私は高校の時に数学の面白さに目覚めて迷うことなく数学科への進学を選択しました.
進学の理由は数学を勉強したかったから.
周りから見るとおかしな奴と思われたでしょうが,当時の私はもっと数学を知りたいという好奇心しかありませんでした.
今回は私の大学での体験談をご紹介します.

大学で数学をやったことがある方であれば,ε-δ論法というものを聞いたことがあると思います.イプシロン-デルタ論法と読みます.これは何かというと,解析学で必要な“収束”という概念を扱うために必要な論法です.簡単にいうと,”どんどん近づく”と感覚を数学的に厳密に定義したものです.

今回はε-δ論法についてご説明します.